[python] Calcolare le soluzioni di un sistema lineare di primo grado utilizzando il metodo di Cramer (senza librerie aggiuntive)

Obiettivo: Vogliamo calcolare, utilizzando Python, tutte le soluzioni per un sistema lineare di primo grado utilizzando le matrici e il metodo di Cramer. Per farlo non utilizzeremo librerie aggiuntive, se non quanto disponibile nativamente dentro Python.

Ovviamente lo scopo dell’esercizio è l’utilizzo di Python, visto che si potrebbe risolvere agilmente con librerie come SciPy e NumPy.

Supponiamo di avere un sistema lineare come quello seguente (l’ho scopiazzato spudoratamente da YouMath, dove c’è anche un’esaustiva spiegazione sul metodo di Cramer):

\begin{cases}2x+y+z=1 \\ 4x-y+z=-5 \\ -x+y+2z=5 \end{cases}

La matrice associata ai coefficienti ed il relativo determinante sarebbe questo:

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=-12

Mentre la matrice dei termini noti sarebbe:

\mbox{A}=\left| \begin{matrix} 1 \\ -5 \\ 5 \end{matrix}\right|

Giusto per curiosità la soluzione immediata con NumPy sarebbe la seguente:

Il risultato nel caso specifico darà: [-1. 2. 1.]

Noi vogliamo costruire qualcosa di simile in Python 2.7.

Cominciamo creando la base della nostra classe perché possa accettare i medesimi argomenti:

Fatto questo cominciamo a creare i metodi di cui avremo bisogno. Il metodo di Creamer con il calcolo del determinante implica, per matrici di dimensione superiore a 2×2, che si debba poter ridurre la matrice in sottomatrici.

Giusto per chiarezza, nel caso del determinante D della suddetta matrice, il calcolo si svolgerebbe in questo modo:

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix}\right|= 2 * \left| \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right| - 1 * \left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right| + 1 * \left| \begin{matrix} 4 & -1 \\ -1 & 1\end{matrix}\right| =\newline = 2*(-1*2-1*1)-1*(4*2-(-1)*1)+1*(4*1-(-1)*(-1)) = \newline = 2*(-3)-1*(9)+1*(3)=\newline =-6-9+3=-12

Ogni sottomatrice prende tutti i valori della matrice corrente eccetto quelli nella riga e nella colonna della posizione attuale. Scriviamo quindi la nostra funzione nella maniera seguente:

Per calcolare il determinante vogliamo fare due operazioni distinte: il calcolo per matrici 2×2 e il calcolo per riduzione delle matrici di dimensione superiore. Iniziamo scrivendo l’operazione per quelle 2×2:

Per calcolare gli altri determinanti procederemo invece con:

In particolare con (1-2*(c%2)) calcoliamo il segno per ogni elemento della prima riga. In particolare ricordiamo che gli elementi saranno calcolati in ordine da 0, 1, 2, 3, 4 ecc. Se calcoliamo il resto per ognuno di essi avremo 0, 1, 0, 1, 0 ecc. Eseguendo la suddetta operazione avremo quindi 1-0, 1-2, 1-0, 1-2, 1-0 ecc. Questo ci darà i segni come 1, -1, 1, -1, 1 ecc.

A questo punto ci manca solo un metodo che ci permetta di creare nuove matrici per calcolare i vari determinanti per x, y, z ecc. Ricordiamoci che i vari risultati saranno dati da:

x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}=\frac{12}{-12}=-1\\ \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}=\frac{-24}{-12}=2\\ \\ \\ z=\frac{\mbox{D}_z}{\mbox{D}}=\frac{-12}{-12}=1

Dobbiamo fare attenzione ad un dettaglio importante. In Python le liste vengono passate per riferimento, questo vuol dire che modificando ogni lista “copiata” si modifica in realtà la lista originale all’indirizzo di memoria. Per copiare una matrice multidimensionale è necessario quindi copiare i singoli valori nella nuova matrice, nella maniera seguente darebbe errore:

Quindi procediamo in questo modo:

La nostra funzione di sostituzione sostituirà quindi i termini noti nella colonna preselezionata.

A questo punto possiamo scrivere il metodo che calcolerà la soluzione, alla maniera seguente:

Infine implementiamo il metodo solve aggiungendo un paio di chiamate di errore, nel caso in cui la matrice non sia adatta.

Nel suo complesso la classe che avremo creato sarà la seguente:

Per utilizzarla sarà sufficiente scrivere:

Se abbiamo fatto tutto correttamente il risultato che otterremo sarà: [-1.0, 2.0, 1.0]

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[python] Radiazione di Hawking e tempo che impiega un buco nero ad evaporare

In memoria di Stephen Hawking propongo un modesto esercizio in Python per calcolare il tempo di evaporazione di un buco nero, secondo la radiazione di Hawking.

In questo caso utilizzeremo le librerie scipy e numpy di Python.

Il mio esempio sarà fatto sotto Windows. Anzitutto installiamo quindi le librerie necessarie utilizzando pip, nella PowerShell digitiamo:

Una volta fatto avviamo un nuovo progetto in python e andiamo anzitutto a calcolare la suddetta formula. L’equazione di evaporazione di un buco nero, che si trovasse in una condizione ideale (ovvero nessuna aggiunta di energia, quindi ipoteticamente in un universo completamente vuoto e senza radiazione di fondo) è la seguente:

t_{ev} = \frac{5120 \pi G^2 M_0^3}{\hbar c^4}

Per scriverla in Python digitiamo:

Faccio notare che da scipy importiamo le costanti fisiche e matematiche che possiamo utilizzare secondo la seguente tabella.

M0 è l’ipotetica massa iniziale di un buco nero di massa solare, nello specifico di 1,98892 * 10^{30} kg .

Il risultato dovrebbe essere:

Il risultato è in secondi, possiamo convertirlo in miliardi di anni digitando:

Il risultato è qualcosa come 2 * 10^{58} miliardi di anni, molto più dell’attuale vita dell’universo stimata attorno ai 13 miliardi di anni.

Adesso proviamo ad inserire l’equazione in un grafico, dove vogliamo confrontare vari tipi di buco nero in base alla massa ed il tempo di evaporazione.

Per farlo anzitutto convertiamo la nostra precedente equazione in una funzione digitando:

Ricordiamoci che il risultato della funzione è in secondi. A questo punto prepariamo i valori del nostro asse x, che saranno le masse di diversi buchi neri. Prendiamo 100 valori tra 0 e 1030.

Sull’asse Y calcoliamo i corrispondenti valori:

Adesso impacchettiamo tutto in un grafico generato con matplotlib.

Il risultato sarà qualcosa di simile a questo:

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