[python] Calcolare le soluzioni di un sistema lineare di primo grado utilizzando il metodo di Cramer (senza librerie aggiuntive)

Obiettivo: Vogliamo calcolare, utilizzando Python, tutte le soluzioni per un sistema lineare di primo grado utilizzando le matrici e il metodo di Cramer. Per farlo non utilizzeremo librerie aggiuntive, se non quanto disponibile nativamente dentro Python.

Ovviamente lo scopo dell’esercizio è l’utilizzo di Python, visto che si potrebbe risolvere agilmente con librerie come SciPy e NumPy.

Supponiamo di avere un sistema lineare come quello seguente (l’ho scopiazzato spudoratamente da YouMath, dove c’è anche un’esaustiva spiegazione sul metodo di Cramer):

\begin{cases}2x+y+z=1 \\ 4x-y+z=-5 \\ -x+y+2z=5 \end{cases}

La matrice associata ai coefficienti ed il relativo determinante sarebbe questo:

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=-12

Mentre la matrice dei termini noti sarebbe:

\mbox{A}=\left| \begin{matrix} 1 \\ -5 \\ 5 \end{matrix}\right|

Giusto per curiosità la soluzione immediata con NumPy sarebbe la seguente:

Il risultato nel caso specifico darà: [-1. 2. 1.]

Noi vogliamo costruire qualcosa di simile in Python 2.7.

Cominciamo creando la base della nostra classe perché possa accettare i medesimi argomenti:

Fatto questo cominciamo a creare i metodi di cui avremo bisogno. Il metodo di Creamer con il calcolo del determinante implica, per matrici di dimensione superiore a 2×2, che si debba poter ridurre la matrice in sottomatrici.

Giusto per chiarezza, nel caso del determinante D della suddetta matrice, il calcolo si svolgerebbe in questo modo:

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix}\right|= 2 * \left| \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right| - 1 * \left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right| + 1 * \left| \begin{matrix} 4 & -1 \\ -1 & 1\end{matrix}\right| =\newline = 2*(-1*2-1*1)-1*(4*2-(-1)*1)+1*(4*1-(-1)*(-1)) = \newline = 2*(-3)-1*(9)+1*(3)=\newline =-6-9+3=-12

Ogni sottomatrice prende tutti i valori della matrice corrente eccetto quelli nella riga e nella colonna della posizione attuale. Scriviamo quindi la nostra funzione nella maniera seguente:

Per calcolare il determinante vogliamo fare due operazioni distinte: il calcolo per matrici 2×2 e il calcolo per riduzione delle matrici di dimensione superiore. Iniziamo scrivendo l’operazione per quelle 2×2:

Per calcolare gli altri determinanti procederemo invece con:

In particolare con (1-2*(c%2)) calcoliamo il segno per ogni elemento della prima riga. In particolare ricordiamo che gli elementi saranno calcolati in ordine da 0, 1, 2, 3, 4 ecc. Se calcoliamo il resto per ognuno di essi avremo 0, 1, 0, 1, 0 ecc. Eseguendo la suddetta operazione avremo quindi 1-0, 1-2, 1-0, 1-2, 1-0 ecc. Questo ci darà i segni come 1, -1, 1, -1, 1 ecc.

A questo punto ci manca solo un metodo che ci permetta di creare nuove matrici per calcolare i vari determinanti per x, y, z ecc. Ricordiamoci che i vari risultati saranno dati da:

x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}=\frac{12}{-12}=-1\\ \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}=\frac{-24}{-12}=2\\ \\ \\ z=\frac{\mbox{D}_z}{\mbox{D}}=\frac{-12}{-12}=1

Dobbiamo fare attenzione ad un dettaglio importante. In Python le liste vengono passate per riferimento, questo vuol dire che modificando ogni lista “copiata” si modifica in realtà la lista originale all’indirizzo di memoria. Per copiare una matrice multidimensionale è necessario quindi copiare i singoli valori nella nuova matrice, nella maniera seguente darebbe errore:

Quindi procediamo in questo modo:

La nostra funzione di sostituzione sostituirà quindi i termini noti nella colonna preselezionata.

A questo punto possiamo scrivere il metodo che calcolerà la soluzione, alla maniera seguente:

Infine implementiamo il metodo solve aggiungendo un paio di chiamate di errore, nel caso in cui la matrice non sia adatta.

Nel suo complesso la classe che avremo creato sarà la seguente:

Per utilizzarla sarà sufficiente scrivere:

Se abbiamo fatto tutto correttamente il risultato che otterremo sarà: [-1.0, 2.0, 1.0]

Vedi articolo

[excel] Calcolare tutte le possibili combinazioni con ripetizione usando le matrici in Excel

Obiettivo: dato un insieme di elementi distinti n vogliamo calcolare tutte le possibili combinazioni che si possono formare con k degli n elementi dati, dove k \in \mathbb{N}

Secondo il calcolo combinatorio il numero di combinazioni con ripetizione che possiamo ottenere si calcola con la seguente formula:

C'_{(n,k)}=\left(\begin{matrix} n+k-1 \\ k \end{matrix} \right)=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}

Con Excel vogliamo ottenere una matrice contenente tutti gli elementi, dove ogni elemento può essere testuale o numerico. A tale scopo utilizzeremo le caratteristiche sul calcolo matriciale introdotte recentemente in Office365 e le seguenti funzioni: INDICE, INDIRETTO, MATR.TRASPOSTA, RIPETI, UNICI, STRINGA.ESTRAI, FILTRO

Prima di procedere ricordiamo che UNICI e FILTRO sono per ora disponibili solo con Office365. Inoltre useremo il # (cancelletto) nella costruzione dei riferimenti, per prendere gli intervalli dinamici generati dalle matrici.

Definiamo quindi anzitutto gli elementi n e il numero di ripetizioni k in questo modo:

Nella riga 1 potremo aggiungere altri elementi a piacere, mentre in B2 inseriremo il numero di ripetizioni desiderate. Per praticità ho chiamato gli elementi A, B e C.

Cominciamo allora calcolando anzitutto il numero di elemento n nella cella B3:

Adesso vogliamo determinare il numero di disposizioni con ripetizione possibili, ovvero tutti i modi in cui possiamo disporre gli n elementi presi a gruppi di k, dove conta l’ordine.

Per chi non fosse pratico dell’argomento se abbiamo i suddetti 3 elementi, allora nelle combinazioni con ripetizione ABC e ACB sono la stessa combinazione (contengono ciascuna tutti e 3 gli elementi), mentre nelle disposizioni con ripetizione ABC e ACB sono elementi distinti.

Il numero totale di disposizioni con ripetizione sarà dato dalla formula:

D'_{(n,k)}=n^k

Che tradotta in Excel possiamo scrivere in B5 come:

Date queste informazioni calcoliamo tutti gli elementi possibili con la seguente formula in B11:

Questa genererà un risultato come il seguente:

L’idea è fondamentalmente quella di generare una matrice di riferimenti agli elementi dati in modo ordinato. Con 3 elementi presi 3 per volta avremo in tutto 27 disposizioni con ripetizione. Generiamo allora una matrice colonna con valori [1…27]. Nella prima colonna da [1…9] avremo il primo elemento, da [10…18] avremo il secondo elemento e così via. Siccome il primo elemento corrisponde a 1 e il secondo a 2, questo significa che presi i valori da [1…27] li dovremo dividere in 3 parti di 9 elementi ciascuna.

Questo lo potremmo ottenere scrivendo:

In questo modo generiamo [1…27] e dividiamo per 9, poi arrotondiamo per eccesso il risultato. Ne seguirà che, arrotondati per eccesso, 1/9 ⇒ 1, 9/9 ⇒ 1, 10/9 ⇒ 2, 18/9 ⇒ 2, 19/9 ⇒ 3, 27/9 ⇒ 3. Avremo insomma tre intervalli fatti, rispettivamente, di [1…1], [2…] e [3…3], ciascuno di 9 sottoelementi.

Nell’immagine di seguito vediamo la schematizzazione di ciò che vogliamo ottenere:

Per ciascun gruppo della prima colonna vorremo ottenere, nella seconda colonna, altri 3 sottogruppi, per ciascuno dei quali, nella terza colonna, vorremo ottenere altri 3 sottogruppi (questa volta di dimensione 1). Quindi i gruppi saranno 1, 3 e 9. Questi sono anche i valori per i quali dobbiamo sezionare gli intervalli delle colonne.

Per generare questi valori usiamo:

La matrice trasposta ci serve per metterli in riga, anziché in colonna. Dividiamo infine la prima colonna per questa riga.

Fatto questo spostiamoci in I10 e digitiamo:

In questo modo riportiamo semplicemente gli elementi scritti da B1 in poi.

In I11 calcoliamo quante volte appare ciascun elemento della matrice in B11#:

NB: grazie al cancelletto selezioniamo tutta la matrice generata da B11.

Il risultato che avremo sarà:

Nella prima riga A è presente 3 volte, gli altri due elementi 0 volte. Nella seconda riga abbiamo 2 A e 1 B, ecc.

In questo caso stiamo semplicemente usando la funzione CONTA.PIÙ.SE su righe successive, per ciascuno dei valori immessi.

A questo punto, sapendo quanti sono i singoli valori, possiamo usare la funzione RIPETI per riscriverli. Tale funzione ripete un dato valore per n volte. Quindi in P11 scriviamo:

Otterremo un risultato come il seguente:

Adesso facciamo una mossa un po’ astrusa. Siccome sappiamo che per ogni riga ci sono k elementi, ovvero 3 elementi, concateniamo tutta la matrice in una singola stringa e la spezziamo in pezzi da 3 elementi per volta. Verrà quindi una lunghissima stringa che comincerà con AAAAABAACAABABBABCAAC… e che verrà spezzata in AAA, AAB, AAC, AAB, ABB ecc.

Per farlo in W11 digitiamo:

La parte di formula con:

Genera una matrice colonna tipo:

La usiamo per spezzare la stringa in parti da 3 a partire dal 1° carattere, il 4° carattere, il 7° carattere ecc.

Il risultato che otterremo saranno tutte le disposizioni con ripetizione di cui parlavamo prima:

Per ottenere le combinazioni con ripetizione che stavamo cercando possiamo fare in due modi.

1. Utilizzando la funzione UNICI

In Z11 scriviamo:

E ricaviamo immediatamente l’elenco ridotto delle combinazioni in questo modo:

Questa è la maniera più semplice e veloce.

2. Utilizzando la funzione FILTRO

Questo è un modo un pizzico più complicato. Per ciascuno dei valori in W11# vogliamo calcolare la presenza del valore stesso nelle righe precedenti. Per farlo utilizzeremo la funzione SCARTO, aumentando la altezza della colonna della matrice di controllo via via che scendiamo. A questa applicheremo il CONTA.SE per vedere se il valore attuale, cioè ciascun valore della matrice, è presente nella sottomatrice precedente calcolata con SCARTO. Confrontando questo valore con 1, ovvero che debba comparire una sola volta, costruiremo la matrice colonna per il filtro da applicare alla funzione FILTRO.

La formula quindi sarà:

In entrambi i casi il risultato sarà identico:

Dal seguente link è possibile scaricare il file Excel con tutti i calcoli già fatti: combinazioni semplici

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[Excel] Sommare tariffe giornaliere diverse per data usando le matrici in Excel

Per chiunque fosse interessato a lavorare sulla matrici in Excel ho pubblicato un simpatico esercizio sul sito di Mummu Academy al seguente link:

[Excel] Sommare tariffe giornaliere diverse per data usando le matrici in Excel

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